概率和导数有多难?看一下2021年新课程高考数学全国二卷会吗?

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导数与概率压轴题:2021年高考数学新课程二卷新题型,三次函数与二次函数多参数问题的解决方法。

这个题目是导数与概率相综合的一道压轴题,它是2021年全国新高考二卷的一道试题,我们一起来分析一下,题目大意如下:

一种微生物群体,可以通过自身的繁殖不断生存下来,第一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖以后就是第一代,经过两次繁殖以后就是第二代,如果说这个微生物每代繁殖的个数都是相互独立,并且有相同的分布列,也就是说每一个微生物的分布列都是一样的。用X表示一个微生物的个体反应值下一代的个数,比如说X等于1表示繁殖下一代的个数为1个,X等于零,就是繁殖下一代的个数是零个,根据题意X=0,1,2,3,说明下一代最少0个,最多3个。

第一问:给出对应的概率,让我们求分布列的数学期望E(X),代入公式就行了,得到E(X)=1,说明下一代平均1个。

第二问:设P表示该种微生物经过多代繁殖以后临近灭绝的概率,一定要看清楚,它是什么概率呢?是临近灭绝的概率,P是方程是关于X的一个三次方程,这个三次方程的一个最小正根,让我们证明,如果期望小于等于一,P就等于一,如果期望大于一,P就小于一。

这个题考的是三次函数,我们借助导数为二次函数,借助二次函数图像的四部曲来看二次函数的符号,进而我们得到f(x)的单调性。我们画出草图来以后,就可以判断出最小的正实根是谁,它在哪里,满足什么条件,这是我们的第二问。

第三问,根据你的理解,说明第二问中结论的实际含义。你要清楚E(X)是什么,它表示每一个该微生物繁殖后代的平均数。如果小于等于一的时候,就是不超过一的时候,则若干代以后临近灭绝的概率是1,就是必然事件了,则若干代以后必然是灭绝的;如果平均数超过一,则若干代以后被灭绝的概率是小于1,因此,我们要理解它的含义,这样我们才能够写清楚。

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