2021年新高考2卷数学第1216题解析

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新高考2卷数学中的解答题部分不再给出,除了统计与概率大题之外,其余题目均在常见题型范围之内,统计大题结合导数,注重理解能力,这种题目在2019年全国1理科中就已经出现过了,可能这就是以后统计与概率大题的出题方向,选填总体难度不大,此次给出第12和第16题的解析。

这是一个很有价值的题目,因为高考真题的官方版并没有给出,当看到这个题目的时候甚至怀疑我看到的版本有问题,k的取值类型没说明,ω(n)看上去不是函数,一开始真的无法下手去解,但如果将所给的式子用文字描述出来,那么一切都合理了,文字描述为:任何一个正整数都可以表示一个以2为公比的等比数列的各项乘0或1的和,所求的函数值其实就是各项系数之和,例如:

因此ω(5)=2,ω(7)=3,ω(15)=4,即便是用一个含有n的式子也能表示出来,如果理解了题目所要表达的意思,本题目就很容易选出正确的选项了,A,B,C选项很容易证明,即便是换成ω(3n+3),可把3n+3转化为2n+3+n后再求系数和,对于D选项,因为等比数列的前n项和都可以写出Sn=A·q^n-A的形式,所以2^n-1可直接写成某个以2为公比的等比数列的前n项和,没必要再像前三个选项一样凑出来。

有的时候太过于执着辨析题型会进入一种牛角尖的状态,当然绝大多数的题目都是常见题型的变形或扩展形式,在考试中也能通过题型的相似性去解一个从未见过的题目,但数学作为自然科学的基础本就是为了解决问题的,如果能看到题目的本质和解题目标,那么解题的思维和眼界会更进一步,本题就是这样,看上去条件不足,但忽略条件,题目想表达什么意思这才是关键,题目放到选择压轴题是有资格的。

这个题目算是几个题目的合体形式,如下面的题目,若y=k与y=lnx相交于A,B两点,两点的横坐标分别为x1,x2,所以-lnx1=lnx2,即lnx1+lnx2=0,因此有x1x2=1,这种题目在函数专题零点问题中遇到过多次,本题以指数的形式给出的,但和对数类似,能很容易看出第16中A,B两点的横坐标互为相反数,证明过程也很简单。

之后的解法就很常规了,解析几何中线段长度的比值一般可以转化为点坐标的比值,相似的,面积的比值常也可转化为长度的比值,进而转化为坐标的比值,因为AM⊥BN,因此直接写出坐标比即可,这种题目在今年的4月28号推送中有相似的题目,链接为近期模拟卷中整理出的九个还不错的题目,如下:

题目当然有其他解法,在此不给出了,因为拿到了其他省份的高考真题,因此后面几期的推送将从剩余的三套真题中选出一些有价值有意思的题目分享。

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